The quasiinvariants of the symmetric group

For m a non-negative integer and G a Coxeter group, we denote by QIm(G) the ring of m-quasiinvariants of G, as defined by Chalykh, Feigin, and Veselov. These form a nested series of rings, with QI0(G) the whole polynomial ring, and the limit QI∞(G) the usual ring of invariants. Remarkably, the ring QIm(G) is freely generated over the ideal generated by the invariants of G without constant term, and the quotient is isomorphic to the left regular representation of G. However, even in the case of the symmetric group, no basis for QIm(G) is known. We provide a new description of QIm(Sn), and use this to give a basis for the isotypic component of QIm(Sn) indexed by the shape [n− 1, 1]. Résumé. Pour m un entier positif ou nul et G un groupe de Coxeter, nous notons QIm(G) l’anneau des quasiinvariants définis par Chalykh, Feigin et Veselov. On obtient ainsi une série d’anneaux emboités, QI0(G) étant l’anneau des polynômes, et la limite QI∞(G) l’anneau des invariants usuels. Il est remarquable que l’anneau QIm(G) est librement généré sur l’idéal engendré par les invariants de G sans terme constant, et le quotient est isomorphe à la représentation régulière à gauche de G. Cependant, même dans le cas du groupe symétrique, aucune base de QIm(G) n’est connue. Nous donnons une nouvelle description de QIm(G) et l’utilisons pour obtenir une base du composant isotypique de QIm(Sn) indexée par la partition (n− 1, 1).